Нелинейные системы автоматического управления

Время на прочтение

Публикую первую часть второй главы лекций по теории автоматического управления.
В данной статье рассматриваются:

2.1. Получение уравнений динамики системы. Статическая характеристика. Уравнение динамики САУ (САР) в отклонениях
2.2. Линеаризация уравнений динамики САУ (САР)
2.3. Классический способ решения уравнений динамики

Лекции по курсу «Управление Техническими Системами», читает Козлов Олег Степанович на кафедре «Ядерные реакторы и энергетические установки», факультета «Энергомашиностроения» МГТУ им. Н.Э. Баумана. За что ему огромная благодарность.

Данные лекции только готовятся к публикации в виде книги, а поскольку здесь есть специалисты по ТАУ, студенты и просто интересующиеся предметом, то любая критика приветствуется.

Первая часть: «Введение в теорию автоматического управления. Основные понятия теории управления техническим системами»

Содержание

Получение уравнений динамики системы. Статическая характеристика. Уравнение динамики САУ (САР) в отклонениях
Линеаризация уравнений динамики САУ (САР)
Пример
Классический способ решения уравнений динамики
Пример
Слайды и текст этой презентации
Слайд 1
Слайд 2
Слайд 3
Слайд 4
Слайд 5
Слайд 6
Слайд 7
Слайд 8
Слайд 9
Слайд 10
Слайд 11
Слайд 12
Слайд 13
Слайд 14
Слайд 15
Слайд 16
Слайд 17
Слайд 18
Слайд 19
Слайд 20
Слайд 21
Слайд 22
Слайд 23
Слайд 24
Слайд 25
Слайд 26
Слайд 27
Слайд 28
Слайд 29
Слайд 30
Слайд 31
Слайд 32
Слайд 33
Слайд 34
Слайд 35
Слайд 36
Слайд 37
Слайд 38
Слайд 39
Слайд 40
Слайд 41
Слайд 42
6.1. Понятие об устойчивости САР. Теоремы Ляпунова.
6.2. Необходимые условия устойчивости линейных и линеаризованных САР.
6.3. Алгебраический критерий устойчивости Гурвица.
Пример 1
Пример 2

Получение уравнений динамики системы. Статическая характеристика. Уравнение динамики САУ (САР) в отклонениях

При составлении уравнений, описывающих нестационарные процессы в САУ (САР) и которые в дальнейшем будем называть уравнениями динамики, система “разбивается” на отдельные элементы (звенья), для каждого из которых не существует проблем в записи соответствующего уравнения динамики.

На рис. 2.1.1 представлено схематичное представление САУ (звена) в переменных «вход-выход», где x(t) (или u(t)) — входное воздействие, а y(t) — выходное воздействие, соответственно. Нередко входное воздействие будет называться управляющим, а выходное воздействие — регулируемой величиной (переменной).

Рис. 2.1.1 – Схематическое представление САУ (звена)

При составлении уравнений динамики используются фундаментальные законы сохранения из разделов “Механики”, “Физики”, “Химии” и др.

Уравнения сохранения в общем случае содержат постоянные и нестационарные члены, причем при отбрасывании нестационарных членов получают так называемые уравнения статики, которые соответствуют уравнениям равновесного состояния САУ (звена). Вычитанием из полных уравнений сохранения стационарных уравнений получают нестационарные уравнения САУ в отклонениях (от стационара).

$\left[ \begin{gathered} y(t) =y_0 + \Delta y(t)\\ u(t) = u_0 + \Delta u(t)\\ \end{gathered} \right.$

где:
$\Delta y, \Delta u$ — отклонения от станционара, соотвесвенно.

В качестве примера рассмотрим «технологию» получения уравнений динамики для механического демпфера, схематическое изображение которого представлено на рис. 2.1.2.

Рис. 2.1.2 – Механический демпфер

Согласно 2-му закону Ньютона, ускорение тела пропорционально сумме сил, действующих на тело:

$m \cdot \frac{d^2 y(t)}{dt} = \sum F_j \ \ \ \mathbf{(2.1.1)}$

где, m — масса тела, F_j — все силы воздействующие на тело (поршень демпфера)

Подставляя в уравнение (2.1.1) все силы согласно рис. 2.2, имеем:

$m \cdot \frac{d^2y(t)}{dt} = m\cdot g+ u(t) - k \cdot y(t) - c \cdot \frac{dy(t)}{dt} \ \ \ \mathbf{(2.1.2)}$

где $m\cdot g$ — сила тяжести; $k \cdot y(t)$ — сила сопротивления пружины, $c \cdot \frac{dy(t)}{dt}$ — сила вязконо трения (пропорциональна скорости поршеня)

Размерности сил и коэффициентов, входящих в уравнение (2.1.2):

$m \cdot g \Rightarrow [\frac{кг \cdot м}{ с^2}]; c \Rightarrow [\frac{кг}{с}]; k \Rightarrow [\frac{кг}{с^2}]$

Предполагая, что при t ≤ 0 поршень демпфера находился в равновесии, то есть

$\left \{ \begin{eqnarray} t &\le 0 \\ u(t) &= u_0\\ y(t) &= y_0\\ \end{eqnarray} \right.$

перейдем к отклонениям от стационарного состояния:
Пусть при t>0 $\left[ \begin{gathered} y(t) =y_0 + \Delta y(t); u(t) = u_0 + \Delta u(t);\\ y'(t) = [\Delta y(t)]'; y''(t) =[\Delta y(t)]''\\ \end{gathered} \right.$ . Тогда, подставляя эти соотношения в уравнение (2.1.2), получаем:

$m \cdot \frac{d^2\Delta y(t)}{dt^2} = m \cdot g - k \cdot y_0- k \cdot \Delta y(t) - c\frac{d\Delta y(t)}{dt} \ \ \ \mathbf{(2.1.3)}$

если $t \le 0$ , то уравнение принимает вид:

$0 = m \cdot g+u_0 - k \cdot y_0 \ \ \ \mathbf{(2.1.4)}$

$y_0 = \frac{1}{k} \cdot[u_0+m \cdot g] \ \ \ \mathbf{(2.1.5)}$

Соотношение (2.1.4) – уравнение звена (демпфера) в равновесном (стационарном) состоянии, а соотношение (2.1.5) – статическая характеристика звена – демпфера (см. рисунок 2.1.3).

Рис. 2.1.3 – Статическая характеристика механического демпфера

Вычитая из уравнения (2.1.3) уравнение (2.1.4), получаем уравнение динамики демпфера в отклонениях:

$m\cdot \frac{d^2 \Delta y(t)}{dt^2} = \Delta u(t) - k \cdot \Delta y(t) - c \cdot \frac{d \Delta y(y)}{dt},$

тогда, разделив на k, имеем:

$T_2^2 \cdot \frac{d^2 \Delta y(t)}{dt^2}+ T_1 \cdot \frac{d \Delta y(t)}{dt} + \Delta y(t) = k_1 \cdot \Delta u(t) \ \ \ \mathbf{(2.1.6)}$

$T_2^2= \frac{m}{k}; T_1= \frac{c}{k}; k_1=\frac{1}{k}.$

Уравнение (2.1.6) — это уравнение динамики в канонической форме, т.е. коэффициент при Δy(t) равен 1.0!

«Легко» видеть, что коэффициенты перед членами, содержащими производные, имеют смысл (и размерность!) постоянных времени. В самом деле:

$T_1 = \frac{c}{k} \Rightarrow [\frac{кг \cdot c^2}{c \cdot кг}] = [c]$

$T_2^2 = \frac{m}{k} \Rightarrow [\frac{кг \cdot c^2}{kg}] =[c^2]$

$(T_2^2 \cdot p^2 + T_1 \cdot p+1)\Delta y(t) = k_1 \Delta u(t)$ , что эквивалентно

$L(p)\Delta y(t) = N(p) \Delta u(t) \ \ \ \mathbf{(2.1.6.а)}$

где:

$inline$ — линейный дифференциальный оператор, вырожденный в константу, равную $inline$ .

Анализ уравнения (2.1.6.а) показывает, что такое уравнение имеет размерные переменные, а также размерными являются все коэффициенты уравнения. Это не всегда удобно. Кроме того, если реальная САР (САУ) состоит из многих звеньев, выходными воздействиями которых являются различные физические переменные (скорость, температура, нейтронный поток, тепловой поток и т.д.), то значения коэффициентов могут различаться на большое число порядков, что ставит серьезные математические проблемы при численном решении уравнений динамики на компьютере (поскольку числа в компьютере всегда представляются с какой-то точностью). Одним из наилучших способов избежать численных трудностей является принцип нормализации, т.е. переход к безразмерным отклонениям, которые получены нормированием отклонения на стационарное значение соответствующей переменной.

Введем новые нормированные (безразмерные) переменные:

$\left[ \begin{gathered} \widetilde y(t) = \frac {y(t)-y_0}{y_0} = \frac {\Delta y(t)}{y_0}\\ \widetilde u(t) = \frac {u(t)-u_0}{u_0} =\frac {\Delta u(t)}{u_0}\\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left[ \begin{gathered} y(t) =y_0 \cdot [1+ \widetilde y(t)]\\ u(t) = u_0 \cdot [1+ \widetilde u(t)]\\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left[ \begin{gathered} y'(t) =y_0 \cdot \widetilde y(t)'\\ y''(t) = y_0 \cdot \widetilde y(t)''\\ \end{gathered} \right.$

Подставляя эти соотношения в уравнение (2.1.2), имеем:

$m \cdot y_0 \cdot \frac{d^2 \widetilde y(t)}{dt^2} = m \cdot g +u_0 \cdot[1+\widetilde u(t)] -k \cdot y_0 \cdot[1+\widetilde y(t)] - c \cdot y_0 \cdot \frac{d \widetilde y(t)}{dt}; или$

$m \cdot y_0 \cdot \frac{d^2 \widetilde y(t)}{dt^2} = \underline {m \cdot g} + \underline {u_0} +u_0 \cdot \widetilde u(t) - \underline {k \cdot y_0} - k \cdot y_0 \cdot \widetilde y(t) - c \cdot y_0 \cdot \frac{d \widetilde y(t)}{dt}.$

Поддчеркнутые члены выражения в сумме дают 0 (см. 2.1.4) Перенося в левую часть члены, содержащие $\widetilde y(t)$ , и, разделив на $k \cdot y_0$ , получаем:

$\frac{m \cdot y_0}{k \cdot y_0} \cdot \frac{d^2 \widetilde y(t)}{dt^2} + \frac {c \cdot y_0}{k \cdot y_0} \cdot \frac{d \widetilde y(t)}{dt} +\widetilde y(t)= \frac{u_0}{k \cdot y_0} \cdot \widetilde u(t) \Rightarrow$

$(T_2^2 \cdot p^2 + T \cdot p + 1) \cdot \widetilde y(t) = k_x \cdot \widetilde u(t) \ \ \ \mathbf{(2.1.7)}$

где: $T_2^2= \frac{m}{k}; T_1= \frac{c}{k}; k_x=\frac{u_0}{k \cdot y_0}$ — коэффициент усиления, причем безразмерный.

Проверим размерность коэффициента $inline$

$\left[\frac{кг \cdot м}{с^2} \cdot \frac{c^2}{кг} \cdot \frac{1}{м}\right] =[1].$

На рис. 2.1.4 представлены статические характеристики для механического демпфера:

Рис. 2.1.4 – Статические характеристики механического демпфера

Процедура нормировки отклонений позволяет привести уравнения динамики к виду:

$L(p) \cdot \widetilde y(t) = N(p) \cdot \widetilde u(t) \ \ \ \mathbf{(2.1.8)}$

где $inline$ дифференциальные операторы.

Если дифференциальные операторы $inline$ — линейные, а статическая характеристика САУ (звена) – тоже линейна, то выражение (2.1.8) соответствует линейному обыкновенному дифференциальному уравнению (ОДУ).

А если $inline$ – нелинейные дифференциальные операторы, или $\widetilde y_{stat} \neq k \cdot \widetilde u_{stat}$ , то уравнение динамики — нелинейное. Под нелинейными действиями понимаются все математические действия, кроме сложения (+) и вычитания (-).

Пример создания модели демпфера можно посмотереть здесь: «Технология получения уравнений динамики ТАУ»

Линеаризация уравнений динамики САУ (САР)

Практически все реальные системы автоматического управления (САУ) являются нелинейными, причем нелинейность САУ может определяться различными причинами:

Нелинейностью статической характеристики.
Нелинейностью динамических членов в уравнениях динамики.
Наличием в САУ принципиально нелинейных звеньев.

Если в замкнутой САУ (САР) нет принципиально нелинейных звеньев, то в большинстве случаев уравнения динамики звеньев, входящих в систему, могут быть линеаризованы. Линеаризация основана на том, что в процессе регулирования (т.е. САУ с обратной связью) все регулируемые величины мало отклоняются от их программных значений (иначе система регулирования или управления не выполняла бы своей задачи).

Например, если рассмотреть управление мощностью энергетического ядерного реактора, то главная задача САР — поддержание мощности на заданном (номинальном) уровне мощности. Существующие возмущения (внутренние и внешние) “отрабатываются” САР и поэтому параметры ядерного реактора незначительно отличаются от стационарных. На рис. 2.2.1 представлена временная зависимость мощности ядерного реактора, где нормированные отклонения мощности ΔN /N << 1, и поэтому уравнения динамики ядерного реактора, в принципе, могут быть линеаризованы.

Рис. 2.2.1 – Пример изменения мощности реактора

Рассмотрим некоторое звено (или САР в целом), описание динамики которого можно представить в переменных “вход-выход”:

Рис. 2.2.2 – Звено САР

Предположим, что динамика данного звена описывается обыкновенным дифференциальным уравнением n-го порядка:

$L(p) \cdot y(t) = N(p) \cdot u(t) \ \ \ \mathbf{(2.2.1)}$

Перенесем $inline$ в левую часть уравнения и запишем уравнение в виде%

$F(y,y',y'',...y^{n}, u, u',u'', ...u^m,t)=0 \ \ \ \mathbf{(2.2.2)}$

где $inline$ -– функция регулируемой переменной и ее производных, а также управляющего (входного) воздействия и его производных, причем F – обычно нелинейная функция.

Будем считать, что при t ≤ 0 САУ (звено) находилось в равновесии (в стационарном состоянии). Тогда уравнение (2.2.2) вырождается в уравнение статической характеристики:

$y'=y''=...y^n=u'=u''=...u^m=0 \Rightarrow F(y_0,u_0)=0 \ \ \ \mathbf{(2.2.3)}$

Разложим левую часть уравнения (2.2.2) в ряд Тейлора в малой окрестности точки равновесного состояния $inline$ .

Напомним, что разложение в ряд Тейлора трактуется следующим образом: если $inline$ , то «простое» разложение функции в ряд Тейлора в окрестности точки $inline$ будет выглядеть так:

$\begin{eqnarray} y(x) = f(x) = f(x_0)+ \frac{1}{1!} \cdot \left( \frac{df}{dx}\right)_{x=x_0} \cdot (x-x_0)+ \frac{1}{2!} \cdot \left( \frac{d^2f}{dx^2} \right)_{x=x_0} \cdot (x-x_0)^2 +\\ ...+\frac{1}{n!} \cdot \left( \frac{d^nf}{dx^n} \right)_{x=x_0} \cdot (x-x_0)^n \end{eqnarray}$

C учетом вышеприведенного разложение принимает вид:

$\begin{eqnarray} F(y,y',y'',...y^{n}, u, u', ...u^m,t) = F(y_0,u_0)+\frac{1}{1!}\cdot \left( \frac{\partial F}{\partial y}\right)_{ y=y_0;u =u_0 } \cdot (y-y_0)+\\ + \frac{1}{2!} \cdot \left( \frac{\partial^2F}{\partial y^2}\right)_{y=y_0;u =u_0}\cdot (y-y_0)^2+\frac{1}{3!} \cdot \left( \frac{\partial^3F}{\partial y^3}\right)_{y=y_0;u =u_0}\cdot (y-y_0)^3 +..\\+\frac{1}{k!} \cdot \left( \frac{\partial^kF}{\partial y^k}\right)_{y=y_0;u =u_0}\cdot (y-y_0)^k+ \frac{1}{1!}\cdot \left( \frac{\partial F}{\partial y'}\right)_{ 0 } \cdot (y') +\frac{1}{2!}\cdot \left( \frac{\partial^2F}{\partial(y')^2}\right)_{ 0 } \cdot (y')^2+\\ ..+\frac{1}{1!}\cdot \left( \frac{ \partial F}{\partial y^{(n)}}\right)_{ 0 } \cdot (y^{(n)})+ \frac{1}{2!}\cdot \left( \frac{\partial ^2F}{\partial(y^{n})^2}\right)_{ 0 } \cdot (y^{(n)})^2+..\\ ..+\frac{1}{1!}\cdot \left( \frac{\partial F}{\partial u}\right)_{ 0 } \cdot (u-u_0)+\frac{1}{2!} \cdot \left( \frac{\partial^2F}{\partial u^2}\right)_{0}\cdot (u-u_0)^2+..\\ ..+\frac{1}{k!}\cdot \left( \frac{\partial^kF}{\partial(u^{m})^k}\right)_{ 0 } \cdot (u^{(m)})^k+.. \end{eqnarray}$

Предполагая, что отклонения выходных и входных воздействий незначительны, (т.е.:<img src="https://habrastorage.org/getpro/habr/formulas/367/822/a52/367822a52dd464e97bd2e4a25c977316.svg" alt="$\frac{\Delta y(t)}{y_0} <<1; \frac{\Delta u(t)}{u_0} <), оставим в разложении только члены первого порядка малости (линейные). Поскольку $[y(t)-y_0] \equiv \Delta y(t); y'(t) = [y_0+\Delta y(t)]' = (\Delta y(t))'$ , получаем:

$F(y,y',y''..y^{(n)},u,u',u''..u^{m},t)\simeq \left( \frac{\partial F}{\partial y} \right)_0\cdot \Delta y+\left(\frac{\partial F}{\partial y'}\right)_0 \cdot (\Delta y)' +\left(\frac{\partial F}{\partial y''}\right)_0 \cdot (\Delta y)''+..\\ ..+\left(\frac{\partial F}{\partial u}\right)_0 \cdot \Delta u+ \left(\frac{\partial F}{\partial u'}\right)_0 \cdot (\Delta u)' + \left(\frac{\partial F}{\partial u''}\right)_0 \cdot (\Delta u)''+..+ \left(\frac{\partial F}{\partial u^{m}}\right)_0 \cdot (\Delta u)^{(m)}\ \ \ \mathbf{(2.2.4)}$

Подставляя соотношение (2.2.4) в уравнение (2.2.2), и перенося множители при у и u в разные части получаем уравнения:

$a_n^0 \cdot \frac{d^{(n)}}{dt^n} \Delta y +a_{n-1}^0 \cdot \frac{d^{(n-1)}}{dt^{n-1}} \Delta y +..+a_{1}^0 \cdot \frac{d}{dt} \Delta y +a_{0}^0\cdot\Delta y = \\ =b_m^0 \cdot \frac{d^{(m)}}{dt^m} \Delta u +b_{m-1}^0 \cdot \frac{d^{(m-1)}}{dt^{m-1}} \Delta u +..+b_{1}^0 \cdot \frac{d}{dt} \Delta u +b_{0}^0\cdot\Delta u \ \ \ \mathbf{(2.2.5)}$

$a_0^0= \left( \frac{\partial F}{\partial y} \right)_{y =y_0;u =u_0};a_1^0= \left( \frac{\partial F}{\partial y'} \right)_{y =y_0;u =u_0}; ...a_n^0= \left( \frac{\partial F}{\partial y^{(n)}} \right)_{y =y_0;u =u_0} ; \\ b_0^0= \left( \frac{\partial F}{\partial u} \right)_{y =y_0;u =u_0};b_1^0= \left( \frac{\partial F}{\partial u'} \right)_{y =y_0;u =u_0}; ...b_m^0= \left( \frac{\partial F}{\partial u^{(m)}} \right)_{y =y_0;u =u_0}.$

Коэффициенты $inline$ — постоянные коэффициенты, поэтому уравнения 2.2.5 — линейное дифференциальное с постоянными коэффициентами.

В дальнейшем нами будет часто использоваться операторная форма записи уравнений динамики:

$L(p)\cdot\Delta y(t) = N(p) \cdot \Delta u(t)\ \ \ \mathbf{(2.2.6)}$

где

$inline$ — линейный дифференциальный оператор степени m, причем обычно порядок оператора $inline$ выше порядка оператора $inline$ : $inline$

Уравнения (2.2.5) и (2.2.6) — уравнения динамики системы (звена) в отклонениях.

Если исходное уравнение (2.2.1) — дифференциальное уравнение в физических переменных (температура, скорость, поток и т.д.), то размерность коэффициентов $inline$ может быть произвольной (любой).

READ Как подключить камеру заднего вида и распиновка проводов камеры заднего вида (схема подключения)

Переход к нормализованным отклонениям позволяет “упорядочить” размерность коэффициентов. В самом деле, разделив уравнение (2.2.5) на начальные условия (значения в нулевой момент времени) $inline$ и выполнив некоторые преобразования, получаем:

$a_n^* \cdot \tilde{y}^{(n)} +a_{(n-1)}^* \cdot \tilde{y}^{(n-1)} +..+a_1^* \cdot \tilde{y}'+a_0^* \cdot \tilde{y} = \\ =b_m^* \cdot \tilde{u}^{(m)} +b_{(m-1)}^* \cdot \tilde{u}^{(m-1)} +..+b_1^* \cdot \tilde{u}'+b_0^* \cdot \tilde{u} \ \ \ \mathbf{(2.2.7)}$

Приведение уравнения динамики САУ (звена) к нормализованному виду позволяет “унифицировать” размерность коэффициентов уравнений: ==>

$[a_0^*] = [1] ;\ \ [a_1^*]= [c];\ \ [a_2^*]= [c^2];\ \ [a_3^*]= [c^3];...[a_n^*]= [c^n]\\ [b_0^*] = [1] ;\ \ [b_1^*]= [c];\ \ [b_2^*]= [c^2];\ \ [b_3^*]= [b^3];...[b_m^*]= [c^m]$

Если вынести в правой части (2.2.7) коэффициент $inline$ за общую скобку и разделить все уравнение на $inline$ , то уравнение принимает вид:

$a_n \cdot \tilde{y}^{(n)} +a_{(n-1)}\cdot \tilde{y}^{(n-1)} +..+a_1\cdot \tilde{y}'+\tilde{y} = \\ =k \cdot [b_m \cdot \tilde{u}^{(m)} +b_{(m-1)} \cdot \tilde{u}^{(m-1)} +..+b_1 \cdot \tilde{u}'+ \tilde{u}] \ \ \ \mathbf{(2.2.8)}$

$a_n = \frac{a_n^*}{a_0^*};\ a_{n-1} = \frac{a_{n-1}^*}{a_0^*}; \ ...a_{1} = \frac{a_{1}^*}{a_0^*}; \ k = \frac{b_0^*}{a_0^*} \\ b_n = \frac{b_n^*}{b_0^*};\ b_{n-1} = \frac{b_{n-1}^*}{b_0^*}; \ ...b_{1} = \frac{b_{1}^*}{b_0^*};$

или в операторном виде:

$(a_n \cdot p^{(n)} +a_{(n-1)}\cdot p^{(n-1)} +..+a_1\cdot p'+1) \cdot \tilde{y} = \\ =k \cdot (b_m \cdot p^{(m)} +b_{(m-1)} \cdot p^{(m-1)} +..+b_1 \cdot \tilde{u}'+ 1)\cdot \tilde{u}\\ L(p)\cdot \tilde{y} =k \cdot N(p) \cdot \tilde{u} \ \ \ \mathbf{(2.2.9)}$

Линеаризация уравнений динамики и нормализация переменных позволяют привести уравнения динамики САУ (звена) к виду, наиболее удобному для использования классических методов анализа, т.е. к нулевым начальным условиям.

$Если \ t ≤ 0 \Rightarrow \left[ \begin{gathered} \tilde {y}(t) = \tilde {y}(0) =0;\\ \tilde u(t) = \tilde u(0) = 0.\\ \end{gathered} \right.$

Пример

Выполнить линеаризацию уравнения динамики некоторой «абстрактной» САР в окрестности состояния (x, y), если полное уравнение динамики имеет вид:

$a_3^0 \cdot y'''(t) +a_2^0 \cdot y''(t)+a_1^0 \cdot y'(t) \cdot[y(t)-d]+ a_2^0 \cdot y^2(t)=b_1^0 \cdot x'(t) +b_0^0 \cdot x(t);$

Нелинейность полного уравнения динамики проявляется в следующем:

• во-первых, в нелинейности статической характеристики:

$a_0^0 \cdot y^2(0) = b_0^0 \cdot x(0); \Rightarrow y_0 = \sqrt{\frac{b_0^0}{a_0^0} \cdot x_0} = \sqrt {k_0 \cdot x_0}$

Рис. 2.2.3 – Линеаризации статической характеристики

• во-вторых, слагаемое в левой части $a_1^0 \cdot y'(t) \cdot[y(t)-d]$ — чисто нелинейное, так как действие умножения является нелинейным.

Выполним процесс линеаризации исходного уравнения, динамики без разложения я ряд Тейлора, основываясь на том, что в окрестности состояния (x, y) нормированные отклонения управляющего воздействия и регулируемой величины намного меньше 1.

Преобразования выполним в следующей последовательности:

Перейдем к безразмерным переменным (нормализованным);
Выполним линеаризацию, отбросив нелинейные члены 2-го и выше порядков малости.

Перейдем к новым безразмерным переменным:

$\tilde{y}(t) = \frac{y(t) - y_0}{y_0};\ \Rightarrow y(t) = y_0 \cdot [1+ \tilde{y}(t)]; \\ \tilde{x}(t) = \frac{x(t) - x_0}{x_0};\ \Rightarrow x(t) = x_0 \cdot [1+ \tilde{x}(t)].$

Заметим, что:
$x(t) = x_0+ \Delta x(t) = x_0+ x_0 \cdot \tilde{x}(t) \ и \ y(t) = y_0+ \Delta y(t) = y_0+ y_0 \cdot \tilde{y}(t)$ .

Подставляя значения x(t) и y(t) в исходное уравнение:

$a_3^0 \cdot y_0 \cdot \tilde y'''(t) +a_2^0 \cdot y_0 \cdot \tilde y''(t)+a_1^0 \cdot y_0 \cdot \tilde y'(t) \cdot[y_0+y_0 \cdot \tilde y(t) -d]+a_0^0 \cdot y_0^2 \cdot[1+ \tilde y(t)]^2 = \\ = b_1^0 \cdot x_0 \cdot \tilde x'(t) + b_0^0 \cdot х_0 \cdot[1+\tilde x(t)]; \ \Rightarrow \ раскрыв \ скобки \Rightarrow \\ a_3^0 \cdot y_0 \cdot \tilde y'''(t)+a_2^0 \cdot y_0 \cdot \tilde y''(t)+a_1^0 \cdot y_0^2 \cdot \tilde y'(t) + a_1^0 \cdot y_0^2 \cdot \tilde y'(t) \cdot \tilde y(t)-a_1^0 \cdot y_0 \cdot \tilde y'(t) \cdot d + \\ +a_0^0 \cdot y_0^2 +2 \cdot a_0^0 \cdot y_0^2 \cdot\tilde y(t) +a_0^0 \cdot y_0^2 \cdot\tilde y(t)^2 = b_1^0 \cdot x_0 \cdot \tilde x'(t) + b_0^0 \cdot х_0+ b_0^0 \cdot х_0 \cdot \tilde x(t)];$

Удаляем полученного уравнения уравнения стационара: $a_0^0 \cdot y_0^2= b_0^0 \cdot х_0$ , а так же пренебрегая слагаемыми второго прядка малости: $\ a_1^0 \cdot y_0^2 \cdot \tilde y'(t) \cdot \tilde y(t)$ , получаем следующее уравнение:

$a_3^0 \cdot y_0 \cdot \tilde y'''(t)+a_2^0 \cdot y_0 \cdot \tilde y''(t)+(a_1^0 \cdot y_0^2 -a_1^0 \cdot y_0 \cdot d) \cdot \tilde y'(t)+2 \cdot a_0^0 \cdot y_0^2 \cdot\tilde y(t) =\\ = b_1^0 \cdot x_0 \cdot \tilde x'(t) + b_0^0 \cdot х_0 \cdot \tilde x(t);$

Вводим новые обозначения:

$a_3^* = a_3^0 \cdot y_0 ; \ \ a_2^* = a_2^0 \cdot y_0; \ \ a_1^* = a_1^0 \cdot y_0^2 -a_1^0 \cdot y_0 \cdot d; \ \ a_0^* =2 \cdot a_0^0 \cdot y_0^2; \\ b_1^* = b_1^0 \cdot x_0; \ \ b_0^*=b_0^0 \cdot х_0 \$

Получаем уравнения в «почти» классическом виде:

$a_3^* \cdot \tilde y'''(t)+a_2^* \cdot \tilde y''(t)+a_1^* \cdot \tilde y'(t)+ a_0^* \cdot\tilde y(t) = b_1^* \cdot \tilde x'(t) + b_0^* \cdot \tilde x(t);$

Если в правой части вынести за общую скобку $inline$ и разделить все уравнение на $inline$ , то уравнение (линеаризованное) принимает вид:

$a_3 \cdot \tilde y'''(t)+a_2 \cdot \tilde y''(t)+a_1 \cdot \tilde y'(t)+ \tilde y(t) = k \cdot[ b_1 \cdot \tilde x'(t) + \tilde x(t)]$

$a_3 = \frac{a_3^*}{a_0^*}; \ \ a_2 = \frac{a_2^*}{a_0^*}; \ \ a_1 = \frac{a_2^*}{a_0^*}; \ \ k = \frac{b_o^*}{a_0^*}; \ \ b_1 = \frac{b_1^*}{b_0^*};$

Процедура нормализации позволяет более просто линеаризовать уравнение динамики, так как не требуется выполнять разложение в ряд Тейлора (хотя это и не сложно).

Классический способ решения уравнений динамики

Классический метод решения уравнений динамики САУ (САР) применим только для линейных или линеаризованных систем.

Рассмотрим некоторую САУ (звено), динамика которой описывается линейным дифференциальным уравнением вида:

$L(p) \cdot y(t) = N(p)*x(t), \ \ \ \mathbf{(2.3.1)}\\ где: L(p) = a_n\cdot p^n + ..+a_1 \cdot p + a_0 \\ N(p) = b_m \cdot p^m+..+b_1 \cdot p+b_0$

Переходя к полной символике, имеем: $\Rightarrow$

$a_n \cdot y^{(n)}+a_{n-1} \cdot y^{(n-1)}+..+a_1 \cdot y'+a_{0} = b_m \cdot x^{(m)}+b_{n-1} \cdot x^{(n-1)}+..+b_1 \cdot y'+b_{0} \ \ \mathbf{(2.3.2)};$

Выражение (2.3.2) — обыкновенное дифференциальное уравнение (ОДУ), точнее неоднородное ОДУ, так как правая часть ≠ 0.

Известно входное воздействие x(t), коэффициенты уравнения и начальные условия (т.е. значения переменных и производных при t = 0).

Требуется найти y(t) при известных начальных условиях.

$y(t) = y_{общ.}(t)+y_{част.}(t),\ \ \ \mathbf{(2.3.3)}$

Будем называть решение однородного дифференциального уравнения $y_{общ.} = y_{собств.}$ , собственным решением, так как его решение не зависит от входного воздействия, а полностью определяется собственными динамическими свойствами САУ (звена).

Вторую составляющую решения (2.3.3) будем называть $y_{част.} = y_{вын.}$ , вынужденным, так как эта часть решения определяется внешним воздействием $inline$ , поэтому САУ (САР или звено) “вынуждена отрабатывать” это воздействие:

$y(t) = y_{собств.}(t)+y_{вын.}(t),\ \ \ \mathbf{(2.3.4)}$

Напомним этапы решения:

1) Если имеется уравнение вида $L(p) \cdot y(t) = N(p)*x(t)$ , то сначала решаем однородное дифференциальное уравнение:

$a_n \cdot y^{(n)}+a_{n-1} \cdot y^{(n-1)}+..+a_1 \cdot y'+a_{0} =0$

2) Записываем характеристическое уравнение:

$L(\lambda) =0; \ \Rightarrow \ a_n \cdot \lambda^{n}+a_{n-1} \cdot \lambda^{n-1}+..+a_1 \cdot \lambda+a_{0} =0 \ \ \ \mathbf{(2.3.5)}$

3) Решая уравнение (2.3.5), которое является типичным степенным уравнением, каким-либо способом (в том числе и с помощью стандартных подпрограмм на компьютере) находим корни характеристического уравнения
4) Тогда собственное решение записывается в виде:

$y_{собств.}(t)=\sum_{j=1}^n C_j \cdot e^{\lambda_j \cdot t}, \ \ \ \mathbf{(2.3.6)}$

если среди $\lambda_i$ нет повторяющихся корней (кратность корней равна 1).

Если уравнение (2.3.5) имеет два совпадающих корня, то собственное решение имеет вид:

$y_{собств.}(t)=\sum_{j=1}^{n-2} C_j \cdot e^{\lambda_{j} \cdot t} +C_{n-1} \cdot e^{\lambda_{n-1} \cdot t}\cdot [1+C_n\cdot t]. \ \ \ \mathbf{(2.3.7)}$

Если уравнение (2.3.5) имеет k совпадающих корней (кратность корней равна k), то собственное решение имеет вид:

$y_{собств.}(t)=\sum_{j=1}^{n-k} C_j \cdot e^{\lambda_{j} \cdot t} +C_{n+1-k} \cdot e^{\lambda_{n+1-k} \cdot t}\cdot [1+C_{n+2-k}\cdot t+C_{n+3-k}\cdot t^2+.. \\ ..+C_{n}\cdot t^{k-1}]. \ \ \ \mathbf{(2.3.8)}$

Если вид правой части дифференциального уравнения – относительно несложная функция времени, то предпочтительным является способ а): подбор решения. $y_{вын.}(t) = f_{вын}(t)$ .

6) Суммируя полученные составляющие (собственную и вынужденную), имеем: $\Rightarrow$

$y_{полн.}(t)=\sum_{j=1}^n C_j \cdot e^{\lambda_j \cdot t} + f_{вын}(t).$

7) Используя начальные условия (t = 0), находим значения постоянных интегрирования $inline$ . $\Rightarrow$ Обычно получается система алгебраических уравнений. $\Rightarrow$ Решая систему, находим значения постоянных интегрирования $inline$

Пример

Найти аналитическое выражение переходного процесса на выходе звена, если

$\left\{ \begin{gathered} 2 \cdot y''(t)+5 \cdot y'(t)+2 \cdot y(t) =1- e^{-t}\\ Начальные \ условия \ t = 0; \Rightarrow y(0) = 0; y'(0) =0.\ \end{gathered} \right.$

Решение.
Характеристическое уравнение имеет вид: $2 \cdot \lambda ^2+5 \cdot \lambda+2 = 0$ ; Решая, имеем: $\lambda_1 = -2; \ \ \lambda = 0.5,$ тогда:

$y_{соб} = С_1 \cdot e^{-2 \cdot t}+С_2 \cdot e^{-0.5 \cdot t},$

где $inline$ — неизвестные (пока) постоянные интегрирования.

По виду временной функции в правой части запишем $y_{вын}(t)$ как:

$у_{вын}(t) =A+B \cdot e^{-t} \Rightarrow у_{вын}'(t) = -B\cdot e^{-t} \Rightarrow у_{вын}''(t) = B\cdot e^{-t}$

Подставляя в исходное уравнение, имеем:

$2\cdot B \cdot e^{-t} - 5 \cdot B \cdot e^{-t}+2\cdot A +2 \cdot B \cdot e^{-t} =1 - e^{-t} \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 2 \cdot A =1\\ -B = -1\ \end{gathered} \right. \Rightarrow\\ \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} A = \frac{1}{2}\\ B = 1\ \end{gathered} \right. \Rightarrow y_{вын.}(t) = \frac{1}{2} -e^{-t};$

Суммируя $y_{соб}, y_{вын}$ , имеем: $y(е) = С_1 \cdot e^{-2 \cdot t}+С_2 \cdot e^{-0.5 \cdot t}+\frac{1}{2}+ e^{-t}.$

Используя 1-е начальное условие (при t = 0), получаем: $inline$ , а из 2-го начального условия имеем: $0 = -2 \cdot C_1 - 0.5 \cdot C_2 -1.$

Решая систему уравнений относительно
Тогда окончательно:

$y(t) = - \frac{1}{6} e^{-2t}- \frac{4}{3} e^{-0.5t}+\frac{1}{2}+e^{-t};$

Что бы проверить результ, выполним моделирование процесса в SimInTech, для этого преобразуем исходное уравнение к виду:

$2 \cdot y''(t)+5 \cdot y'(t)+2 \cdot y(t) =1- e^{-t} \Rightarrow \\ \Rightarrow y''(t) = 0.5 - 0.5\cdot e^{-t} - 2.5 \cdot y'(t)- y(t)$

Создадим модель SimInTech, содержащую исходное динамическое уравнение и полученное аналитическое решение, и выведем результаты на один график (см. рис. 2.3.1).

Рис. 2.3.1 – структурная схема для проверки решения

На рис. 2.3.2 приведено решение по вышеприведенному соотношению и численное решение задачи в среде SimInTech (решения совпадают и линии графиков «наложены» друг на друга).

Рис. 2.3.2 – Решение уравнения динамики

Ссылки по теме:

Продолжениее: Математическое описание систем автоматического управления. 2.9 — 2.13.
3. ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЗВЕНЬЕВ И СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ (РЕГУЛИРОВАНИЯ).
3.1. Амплитудно-фазовая частотная характеристика: годограф, АФЧХ, ЛАХ, ФЧХ.
3.2. Типовые звенья систем автоматического управления (регулирования). Классификация типовых звеньев. Простейшие типовые звенья.
3.3. Апериодическое звено 1–го порядка (инерционное звено). На примере входной камеры ядерного реактора.
3.4. Апериодическое звено 2-го порядка.
3.5. Колебательное звено.
3.6. Инерционно-дифференцирующее звено.
3.7. Форсирующее звено.
3.8. Инерционно-интегрирующее (звено интегрирующее звено с замедлением).
3.9 Изодромное звено (изодром).

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1

Нелинейные системы автоматического управления
Нелинейной системой автоматического управления называется такая система, которая содержит хотя бы одно звено описываемое нелинейным уравнением

Слайд 2

Виды нелинейных звеньев:
Виды нелинейных звеньев:
звенья релейного типа
идеальное реле
реле с гистерезисом

Слайд 3

идеальное реле с зоной нечувствительности
идеальное реле с зоной нечувствительности
реальное реле с зоной нечувствительности

Слайд 4

звено с кусочно-линейной характеристикой
звено с кусочно-линейной характеристикой
усилитель с ограничением
усилитель с зоной нечувствительности

Слайд 5

звено с криволинейной характеристикой
звено с криволинейной характеристикой
звено, уравнение которого содержит произведение переменных или их производных
логическое звено

Слайд 6

Метод гармонической линеаризации

относится к приближенным методам
прост и универсален
широко распространен в инженерной практике

Слайд 7

Идея метода гармонической линеаризации. Условия применимости
Идея метода гармонической линеаризации. Условия применимости

Предполагается
в системе автоколебания с амплитудой ak и частотой ωk.
Сигнал на входе НЗ
Сигнал на выходе НЗ

Слайд 8

Слайд 9

Слайд 10

— уравнение баланса амплитуд
— уравнение баланса амплитуд
— уравнение баланса фаз
гармонических колебаний

уравнения гармонического баланса

Слайд 11

Решаются две группы задач:
исследование периодических движений в нелинейных замкнутых системах (определение условий устойчивости и параметров ПД);
исследование условий отсутствия моногармонических автоколебаний в нелинейных замкнутых системах.

Слайд 12

Гармоническая линеаризация нелинейностей
Пусть заданная нелинейная функция
При выполнении гипотезы фильтра переменная x(t)  asint  sin.
Разложим периодический сигнал на выходе НЗ в ряд Фурье:

Слайд 13

Предполагаем
где p=d/dt

где q(a) и q'(a) – коэффициенты гармонической линеаризации

Слайд 14

<img loading="lazy" data-fp="documents_6/e7422f6313b092c8ef74eef3fb9415de/nelinejnye-sistemy-avtomaticheskogo-upravleniya/14" alt="

Для однозначной нелинейной характеристики F(x) коэффициент q'(a)=0.
Для однозначной нелинейной характеристики F(x) коэффициент q'(a)=0.
Для неоднозначной характеристики типа гистерезис q'(a)≠0 и q'(a)

Для однозначной нелинейной характеристики F(x) коэффициент q'(a)=0.
Для однозначной нелинейной характеристики F(x) коэффициент q'(a)=0.
Для неоднозначной характеристики типа гистерезис q'(a)≠0 и q'(a)<0

Слайд 15

Замена исходного нелинейного уравнения приближенным уравнением для первой гармоники называется гармонической линеаризацией
Замена исходного нелинейного уравнения приближенным уравнением для первой гармоники называется гармонической линеаризацией
передаточной функцией нелинейного гармонически линеаризованного звена

Слайд 16

Слайд 17

Характеристическое уравнение гармонически линеаризованной нелинейной САУ:
Характеристическое уравнение гармонически линеаризованной нелинейной САУ:
подставим в L(s) s=jωп
выделим вещественную U(aп,ωп,) и мнимую V(aп,ωп) части.
по критерию Михайлова

Слайд 18

определяются параметры ПД aп и ωп.
определяются параметры ПД aп и ωп.

Слайд 19

0 кривая Михайлова займет положение 1-1, а при отрицательном приращении амплитуды ∆a0 кривая Михайлова займет положение 1-1, а при отрицательном приращении амплитуды ∆a

Если при положительном приращении амплитуды ∆a>0 кривая Михайлова займет положение 1-1, а при отрицательном приращении амплитуды ∆a<0 займет положение 2-2, то исследуемые ПД с параметрами (aп,ωп) устойчивы, т.е. в НС имеют место автоколебания. В противном случае ПД – неустойчивы, а сама нелинейная САУ устойчива в малом.
Если при положительном приращении амплитуды ∆a>0 кривая Михайлова займет положение 1-1, а при отрицательном приращении амплитуды ∆a<0 займет положение 2-2, то исследуемые ПД с параметрами (aп,ωп) устойчивы, т.е. в НС имеют место автоколебания. В противном случае ПД – неустойчивы, а сама нелинейная САУ устойчива в малом.
READ В фикспрайсе есть аналогичная видеокамера из оптического волокна
Powered by Inline Related Posts

Слайд 20

Частотный метод исследования устойчивости ПД в НС
Л. С. Голдфарба (1946 г.)

Основная идея
WН(a)  комплексный коэффициент передачи НЭ

Слайд 21

s=jω
s=jω
решим полученное уравнение относительно неизвестных aп и ωп .
Графоаналитическое решение
— инверсный коэффициент гармонической линеаризации

Слайд 22

Слайд 23

Слайд 24

Оба годографа и строятся на одной комплексной плоскости.
Оба годографа и строятся на одной комплексной плоскости.
— АФХ линейной части определяет частоту ωп ПД,
— амплитуду aп ПД.
ПД – устойчивы, если, двигаясь по характеристике в сторону возрастания амплитуды, переходим из неустойчивой в устойчивую область D-разбиения при устойчивой линейной части .

Слайд 25

Слайд 26

Слайд 27

Критерий абсолютной устойчивости В. М. Попова

Слайд 28

линейная часть системы устойчива
линейная часть системы устойчива
Абсолютная устойчивость нелинейной САУ предложена в 1959 г. в работе румынского математика В. М. Попова.

Слайд 29

Теорема. Если замкнутая система состоит из устойчивой линейной части с передаточной функцией, все полюсы которой располагаются в левой полуплоскости, и нелинейного элемента с характеристикой , лежащей в угле
Теорема. Если замкнутая система состоит из устойчивой линейной части с передаточной функцией, все полюсы которой располагаются в левой полуплоскости, и нелинейного элемента с характеристикой , лежащей в угле
, то достаточным условием этой системы является выполнение при всех
неравенства
(1)
где q – произвольное вещественное число

Слайд 30

Геометрическая интерпретация теоремы.
Геометрическая интерпретация теоремы.
введем видоизмененную частотную характеристику
обозначим

(2)
(3)
(4)

Слайд 31

(4) определяет собой прямую линию на плоскости , которая проходит через точку с координатами
(4) определяет собой прямую линию на плоскости , которая проходит через точку с координатами
с угловым коэффициентом, равным .
Теорема. САУ будет абсолютно устойчива, если на плоскости видоизмененной частотной характеристики линейной части системы можно провести прямую через точку так, чтобы располагалась справа от этой прямой. Указанную прямую принято называть прямой Попова.

Слайд 32

Слайд 33

Второй метод Ляпунова
не требует нахождения решения дифференциального уравнения
основная идея
замена анализа решений нелинейных уравнений произвольного порядка на оценку свойств этих решений с помощью дифференциального неравенства

Слайд 34

исследуется изменение «расстояния» в пространстве состояний от текущей точки системы до начала координат
исследуется изменение «расстояния» в пространстве состояний от текущей точки системы до начала координат
В качестве оценки расстояния можно использовать скалярную функцию, которую обозначим через V(x)
фазовые траектории системы
устойчивое состояние равновесия -«стягиваются»

Слайд 35

Суть второго метода Ляпунова сводится к оценке изменения некоторой функции координат состояния системы вдоль траекторий движения
Суть второго метода Ляпунова сводится к оценке изменения некоторой функции координат состояния системы вдоль траекторий движения
V(x) — называют функцией Ляпунова.

Слайд 36

Слайд 37

Слайд 38

Теоремы второго метода Ляпунова
Теоремы второго метода Ляпунова
Состояние равновесия системы является асимптотически устойчивым, если для положительно определенной функции Ляпунова V(x) ее полная производная в силу системы есть отрицательно определенная функция, т. е. при выполнении условий

Слайд 39

Теорема о неустойчивости
Теорема о неустойчивости
Состояние равновесия системы является неустойчивым, если для положительно определенной функции Ляпунова V(x) ее полная производная в силу системы представляет собой также положительно определенную функцию.
теоремы дают только достаточные условия устойчивости и неустойчивости

Слайд 40

Пример
Пример
с помощью второго метода Ляпунова оценить устойчивость системы, поведение которой описывают следующие уравнения:
Полагаем u = 0 и рассмотрим автономную систему

Слайд 41

Выберем для нее в качестве функции Ляпунова следующую функцию:
Выберем для нее в качестве функции Ляпунова следующую функцию:
Определим теперь полную производную функции Ляпунова вдоль траектории движения автономной системы
обращается в нуль не только в начале координат, но и на всей оси .

Слайд 42

полная производная новой функции Ляпунова есть отрицательно определенная функция.
Следовательно, исходная система является асимптотически устойчивой.

Время на прочтение

Предыдущие лекции по теории автоматического управления можно посмотреть здесь:

1. Введение в теорию автоматического управления.2. Математическое описание систем автоматического управления 2.1 — 2.3, 2.3 — 2.8, 2.9 — 2.13.

3. ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЗВЕНЬЕВ И СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ РЕГУЛИРОВАНИЯ. 3.1. Амплитудно-фазовая частотная характеристика: годограф, АФЧХ, ЛАХ, ФЧХ. 3.2. Типовые звенья систем автоматического управления регулирования. Классификация типовых звеньев. Простейшие типовые звенья. 3.3. Апериодическое звено 1–го порядка инерционное звено. На примере входной камеры ядерного реактора. 3.4. Апериодическое звено 2-го порядка. 3.5. Колебательное звено. 3.6. Инерционно-дифференцирующее звено. 3.7. Форсирующее звено.  3.8. Инерционно-интегрирующее звено (интегрирующее звено с замедлением). 3.9. Изодромное звено (изодром). 3.10 Минимально-фазовые и не минимально-фазовые звенья. 3.11 Математическая модель кинетики нейтронов в «точечном» реакторе «нулевой» мощности.

4. Структурные преобразования систем автоматического регулирования.

5. Передаточные функции и уравнения динамики замкнутых систем автоматического регулирования (САР).

6.1. Понятие об устойчивости САР. Теоремы Ляпунова.

В теории «Управления техническими системами» общепринято понятие качество управления, состоящее из трех основных составляющих:

устойчивость САР (или запасы устойчивости);

качество переходного процесса.

Необходимо заметить, что если не обеспечена устойчивость замкнутой САР, то говорить о точности и, тем более, о качестве переходного процесса — бессмысленно.

      Поэтому понятие «устойчивость» — важнейшее понятие для САР.

      Приведем «механическую» аналогию понятия «устойчивость»

Рисунок 6.1.1 а) абсолютно устойчивое положение, б) неустойчивое положение, в) нейтральное (безразличное) положение.

В положении а) при отклонении шарика от нижнего положения он обязательно вернется в свое устойчивое положение (низ «воронки»).

В положении б) малейшее отклонение шара от состояния равновесия приведет к «скатыванию» его вниз; т.е. шар не вернется сам назад на вершине «горки».

В положении в) при воздействии на шар он начнет перемещаться в горизонтальном направлении и, если нет трения, то шар будет двигаться с постоянной скоростью.

Если реальная замкнутая САР имеет свойства, аналогичные а), то она «хорошая», если б) – «совсем плохая».   Нужно так проектировать САР, чтобы ее свойства были похожи на а), т.е. если какое-то возмущающее воздействие отклонит систему от равновесия, то система управления обязана вернуть техническую систему в состояние равновесия.

Ранее мы водили передаточную функуию для по возмущающему воздействию для замкнутой САР (см. формулу 5.4 в предыдущей лекции). Уравнения динамики замкнутой САР, описываемую в переменных «вход-выход»:

$D(p)\cdot y(t)=k \cdot N(p) \cdot x(t) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(6.1.1)}$

Решения для такого уравнения будет являтся суммой двух функций: $y(t)=y_{соб}(t)+y_{вын}(t)$ , где $y_{соб}(t)$ — собственное решение, при и вынужденное $y_{вын}(t)$ решение вызванное воздействием.

$a_n\cdot \lambda^n_n+a_{n-1}\cdot \lambda^{n-1}_{n-1}+...+a_1\cdot \lambda_1+a_0 =0$

Решая уравнение (6.1.2), которое является типичным степенным уравнением, каким-либо способом (в том числе и с помощью стандартных подпрограмм на компьютере) находим корни характеристического уравнения $\lambda_j$ , тогда собственное решение примет вид:

$y_{соб}(t)=\sum_{j=1}^n c_j\cdot e^{\lambda_j\cdot t} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(6.1.3)}$

В зависимости от значения $\lambda_j$ возможно несколько вариантов вида функуции. На рисунке 6.1.2 представлены варинаты поведения функции вида $c_j\cdot e^{\lambda_j\cdot t}$ в случае когда $\lambda_j \in R$ является реальными числом или комплексным числом $\lambda_j \in C$ .

Рисунок 6.1.2 Возможная вид решения

Анализ вышеприведенных рисунков показывает, что система может вернуться в исходное состояние, если все составляющие $с_j\cdot e^{\lambda_j\cdot t }$ при $t\rightarrow \infty$ будут стремиться к нулю. А для этого показатель степени должен быть отрицательным.  Поэтому условием устойчивости является отрицательное значение реальной части корней <img source="Re[\lambda_j]<0" alt="Re[\lambda_j]т.е. необходимо чтобы корни характеристического уравнения лежали в левой полуплоскости.

Рисунок 6.1.3 Расположение корней характеристического уравнения

Если корни комплексные, то процесс колебательный, если корни реальные, то процес аперодический (затухающий). Причем ось ординат  соответствует границам устойчивости $(Re [ \lambda_i]=0)$ (апериодической или колебательной). Таким образом, вопрос об устойчивости или неустойчивости замкнутой (и разомкнутой) САР определяется по расположению корней соответствующего характеристического уравнения.

Для не замкнутой САР вместо $D(\lambda)$ устойчивость определяется корнями характеристического уравнения знаменателя передаточной функции $L(\lambda)$ в предыдущей лекции мы выводили формулу рассчета передаточной фунции замкунутой САР, по предаточной функции разомкнутоф САР: $D(s)=L(s)+K\cdot N(s)$

Таким образом, вопрос об устойчивости или неустойчивости замкнутой и разомкнутой САР определяется по расположению корней соответствующего характеристического уравнения.

$\left [ \begin{align} D(\lambda)=0 - для \ \ замкнутой \ \ САР \\L(\lambda) =0 - для \ \ разомкнутой \ \ САР \end{align} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(6.1.3)}\right.$

Если все корни характеристического уравнения лежат (расположены) в левой полуплоскости – линейная (или линеаризованная) САР устойчива.

Необходимо заметить, что коэффициенты уравнения $D(\lambda)=0$ совпадают с коэффициентами многочлена (полинома)   следовательно     полюса замкнутой САР тождественно совпадают с корнями характеристического уравнения    $\lambda_j=s_j$   , где   $\lambda_j$ — корни характеристического уравнения; — полюса перредаточной функции.

READ Камера заднего вида в режиме Bluetooth
Powered by Inline Related Posts
Напомним, полюсом передаточной функции называется значение её аргумента, при котором знаменатель функции обращается в ноль.

Используя приблизительно такие же рассуждения сходимости степенных функций Ляпуновым были сформулированы 3 теоремы об устойчивости линейных САР:

Если все корни характеристического уравнения или полюса передаточной функции САР расположены в левой полуплоскости, то линеаризованная САР обязательно вернется в исходное состояние при снятии внешнего воздействия, выведшего эту САР из состояния равновесия. Следовательно САР – устойчива.

Если хотя бы один полюс (или корень характеристического уравнения) передаточной функции САР расположен в правой полуплоскости (при всех остальных в левой полуплоскости), линейная (линеаризованная) САР никогда не вернется в исходное (равновесное) состояние при снятии внешнего воздействия, которое вывело данную САР из исходного состояния равновесия.   Следовательно САР – неустойчива.

Если хотя бы один из полюсов передаточной функции САР (корней   характеристического уравнения) находится на мнимой оси (при всех остальных в левой полуплоскости) об устойчивости линеаризованной САР ничего сказать нельзя, т.к. учет нелинейных (отброшенных) членов в динамике САР может дать любой результат (устойчива или неустойчива).

Резюмируя вышесказанное, отметим, что:

Наиболее простым способом определения устойчива или неустойчива САР (как замкнутая, так и разомкнутая) является решение уравнения для замкнутой САР (или для разомкнутой САР) или решение характеристического уравнения $D(\lambda)=0$ или $L(\lambda)$ – для разомкнутой САР).

Если САР задана в переменных состояния, то вопрос об устойчивости САР определяется матрицей А – собственной матрицей:

$\left \{ \begin{align} x'=A\cdot x+B\cdot u \\ y =C \cdot x + D \cdot u \end{align} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(6.1.5)}\right.$

Если собственные числа матрицы А лежат в левой полуплоскости – САР устойчива; если хотя бы одно собственное число лежит в правой полуплоскости – линейная САР неустойчива.

Собственные числа (согласно разделу «Линейная алгебра») находятся из уравнения:

$det[A -E\cdot \lambda] =0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(6.1.6)}$

где: — матрица размера $n \times n$ ; — единичная матрица

$E = \begin{bmatrix} 1 &0 &\cdots & 0 \\ 0 & 1 &\cdots & 0 \\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\ 0 &0 &0 &1 \end{bmatrix}$

Это означает, что уравнение принимает:

$\left | \begin{matrix} a_{11}-\lambda_1 &a_{12} &\cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} - \lambda_2 &\cdots & a_{2n} \\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\ a_{n1} &a_{n2} &\cdots &a_{nn}-\lambda_n \end{matrix} \right |=0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(6.1.7)}$

Фактически уравнения (6.1.6) и (6.1.7) – характеристические уравнения САР. Поэтому, если САР задана в переменных состояния, то характеристический полином при задании САР в переменных «вход-выход» может быть определен как:

$D(s)=\left [ \begin{align} det[A -E \cdot s] = 0 - если \ \ размерность \ \ матрицы \ \ A \ \ четная \\det[E\cdot s -A]=0 - если \ \ размерность \ \ матрицы \ A \ \ нечетная \end{align} \right.$

Чисто математически задача определения устойчивости сводится к решению степенного уравнения или к проблеме нахождения собственных чисел матрицы А.

6.2. Необходимые условия устойчивости линейных и линеаризованных САР.

Наиболее просто необходимое условие устойчивости линейных (линеаризованных) САР формулируется для систем, записанных в переменных «вход-выход», причем оно применяется в одинаковой «редакции» как для замкнутых, так и для разомкнутых САР.   Это условие доказывается с использованием характеристического полинома D(s) – для замкнутых САР, или L(s) – для разомкнутых САР. Сделаем вывод на основании D(s)

Разложим многочлен D(s) на элементарные линейные сомножители :

$D(s)=a_n\cdot(s-s_1)\cdot(s-s_2)\cdot ...\cdot(s-s_n) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(6.2.1)}$

где: — полюса передаточной функции замкнутой САР.

Предположим, что 0″ alt=»a_n>0″ src=»https://habrastorage.org/getpro/habr/upload_files/211/51e/6c1/21151e6c1fa5c2218a640b1c2b75899f.svg»>и что все полюса расположены в левой полуплоскости:

$\left | \begin{align} s_1 &= -|\alpha_1 | \\s_2&=-|\alpha_2|+i\cdot\beta_2; \\s_3&=-|\alpha_2|-i\cdot \beta_2;\\s_4&=-|\alpha_3|+i\cdot\beta_3;\\ s_5&=-|\alpha_3|-i\cdot\beta_3;\\&............ \end{align} \right.$

где: — действительный полюс; $s_2\cdots s_5$ — — комплексно-сопряженные полюса.

Подставим значения $s_1 \cdots s_n$ в выражение 6.2.1 заметим, что если перемножать любые две скобки в выражении 6.2.1, которые содержат комплексно сопряженные скобки например $(s-s_2)\cdot(s -s_3)$ мы получим выражение типа: $s^2+2\cdot \alpha_j\cdot s+\alpha_j^2+\beta_j^2$ .

В первой скобке мы получим выражение: $(s-s_1)=(s+\alpha_1);$ Таким образом мы получаем только полжительные коэффициенты полинома Таким образом можно сформулировать необходимое условие устойчивости линейных САР:

Необходимым условием устойчивости линейных САР является положительность всех коэффициентов в полиноме  — для замкнутых САР, или в – для разомкнутых САР.

Для систем 1-го и 2-го порядка необходимое условие является и достаточным.

Но для систем, имеющих порядок , выполнение необходимого условия невсегда является достаточным.

Тем не менее, необходимое условие «очень удобно», т.е. если хотя бы один коэффициент в D(s) отрицателен, то однозначно – САР неустойчива.

Если необходимое условие выполнено 0)» alt=»(a_j>0)» src=»https://habrastorage.org/getpro/habr/upload_files/e1c/cbb/bef/e1ccbbbef207d02f7dc1b54846e4c270.svg»>, то если порядок матрицы больше 2 2)» alt=»(n>2)» src=»https://habrastorage.org/getpro/habr/upload_files/ad4/458/87b/ad445887b7b8f100a48ae778c8e5b273.svg»>необходимо либо вычислить корни характеристического уравнения (полюса передаточной функции), либо используя какой-либо из критериев устойчивости сделать соответствующий вывод об устойчивости САР.

6.3. Алгебраический критерий устойчивости Гурвица.

Как отмечалось выше, устойчивость любой САР можно определить, вычислив значение всех полюсов (или корней соответствующего характеристического уравнения). Однако далеко не все способны без компьютера (калькулятора) решить степенное уравнение выше квадратного (кубическое и т.д.).

Критерий Гурвица, являющийся частным случаем критерия Раусса, позволяет не решая уравнений типа или $D(\lambda)=0$ сделать вывод об устойчивости САР на основании «несложных» вычислений с использованием коэффициентов характеристического полинома.

Представим полином в измененном виде:

$D(s)=a_0\cdot s^n+ a_1\cdot s^{n-1}+ ...+ a_{n-1}\cdot s +a_n \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(6.3.1)}$

Данное выражение полинома позволяет соcтавить матрицу Гурвица, для этого:

по главной диагонале по главной диагонали слева направо выставляются коэффициенты характеристического уравнения от до ;

от каждого элемента диагонали вверх и вниз достраиваются столбцы определителя так, чтобы индексы убывали сверху вниз;

на место коэффициентов с индексами меньше нуля или больше ставатся нули:

$Г = \begin{bmatrix} a_1 &a_3 &a_5 &\cdots & 0 &0 \\ a_0 & a_2 &a_4 &\cdots &0 &0\\0 &a_1 &a_3 &\cdots &0 &0\\ \vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0 &0 &0 &\cdots &a_{n-1} &0 \\ 0 &0 &0 &\cdots &a_{n-2} &a_n \end{bmatrix}$

Составив эту матрицу можно сфомулировать критерий:

Для того, чтобы замкнутая САР (или разомкнутая) была устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы были положительны все n главных определителей Гурвицевой матрицы Г.

0; \\ \Delta_2 &= \left |\begin{matrix} a_1 &a_3\\ a_0 &a_2 \end{matrix} \right |>0; \\ \Delta_3 &= \left | \begin{matrix}a_1 &a_3 &a_5 \\ a_0 &a_2 &a_2 \\ 0 &a_1 &a_3 \end{matrix} \right |>0; \\ \cdots \\ \Delta_{n} &= \Delta_{n-2}\cdot a_n >0. \end{align} \right.» alt=»\left \{ \begin{align} \Delta_1 &= a_1>0; \\ \Delta_2 &= \left |\begin{matrix} a_1 &a_3\\ a_0 &a_2 \end{matrix} \right |>0; \\ \Delta_3 &= \left | \begin{matrix}a_1 &a_3 &a_5 \\ a_0 &a_2 &a_2 \\ 0 &a_1 &a_3 \end{matrix} \right |>0; \\ \cdots \\ \Delta_{n} &= \Delta_{n-2}\cdot a_n >0. \end{align} \right.» src=»https://habrastorage.org/getpro/habr/upload_files/53b/9e0/d2b/53b9e0d2b537f6b57f030bb47ba32410.svg»>

Если все определители больше нуля, то линейная САР устойчива.

Если все определители больше нуля и то САР находится на апереодической границе устойчивости.

Если все определители, кроме $\Delta_{n-1}$ больше нуля, а опеределитель $\Delta_{n-1} =0$ и $a_n\neq0$ Р , то САР находится на колебательного границы устойчивости.

Пример 1

Определить, устойчива или нет следующая система САР:

Рисунок 6.3.1 САР для анализа устойчивости

Найдем главную передаточную функцию замкнутой САР:

$Ф(s)=\frac{W(s)}{W_{oc}(s)}=\frac{10\cdot s+1}{(4\cdot s^2+s+1)\cdot \left [1+\frac{10\cdot s+1}{4\cdot s^2+s+1}\cdot \frac{1}{s+1} \right]}=\\ =\frac{(10\cdot s+1)\cdot(s+1)}{(s+1)\cdot(4\cdot s^2+s+1)+(10\cdot s+1)}=\frac{(10\cdot s+1)\cdot(s+1)}{\underbrace{4\cdot s^3+5\cdot s^2+12\cdot s+2}_{D(s)}}$

Все коэффициенты полинома — положительные:

$D(s)=\underbrace{4}_{a_0}\cdot s^3+\underbrace{5}_{a_1}\cdot s^2+\underbrace{12}_{a_2}\cdot s+\underbrace{2}_{a_3}$

А значит САР может быть устойчива. Составим матрицу Гурвица, и найдем ее определители:

0; \\ \Delta_2 &= \left | \begin{matrix} 5 &2\\ 4&12 \end{matrix} \right | =5\cdot12-4\cdot2=52>0 \\ \Delta_3 &= 52 \cdot 2>0; \end{align} \right.» alt=»Г=\begin{bmatrix} 5 &2 &0\\ 4 &12 &0 \\ 0 &5 & 2 \end{bmatrix}\Rightarrow \left \{ \begin{align} \Delta_1 &=5>0; \\ \Delta_2 &= \left | \begin{matrix} 5 &2\\ 4&12 \end{matrix} \right | =5\cdot12-4\cdot2=52>0 \\ \Delta_3 &= 52 \cdot 2>0; \end{align} \right.» src=»https://habrastorage.org/getpro/habr/upload_files/ee4/26e/882/ee426e8828c9e440b3520ea2165d3e5d.svg»>

Все определители матрицы Гурвица больше нуля, следовательно САР устойчива.

Пример 2

Используя критерий Гурвица, выполнить анализ устойчивости следующей САР:

Рисунок 6.3.2 САР для анализа устойчивости

Общая передаточная функция разомкнутой системы САР:

$W(s) =\frac{\overbrace{k_1\cdot k_2}^K}{s\cdot(T_1\cdot s+1)\cdot(T_2\cdot s+1)}$

Корни знаменателя передаточной функцийй размкнутой САР:

$s_1=-\frac{1}{T_1}; s_2 =-\frac{1}{T_2}; s_3 =0$

Поскольку разомкнутая САР находится на границе устойчивости.

Передаточная функция замкнутой САР:

$D(s)=\underbrace{T_1\cdot T_2}_{a_0}\cdot s^3+\underbrace{(T_1+T_2)}_{a_1}\cdot s^2+\underbrace{1}_{a_2}\cdot s+\underbrace{k}_{a_3}$

Выражения для матрицы Гурвица:

$Г=\begin {bmatrix}(T_1+T_2) & K & 0\\ T_1\cdot T_2 &1 &0\\ 0 &(T_1+T_2)& K \end{bmatrix}$

Главные определители матрицы Гурвица:

0\\ \Delta_2&=T_1+T_2-K\cdot T_1\cdot T_2 >0\\ \Delta_3 &=K\cdot(T_1+T_2- K\cdot T_1\cdot T_2)>0 \end{align} \right.» alt=»\left \{\begin{align} \Delta_1&=T_1+T_2 >0\\ \Delta_2&=T_1+T_2-K\cdot T_1\cdot T_2 >0\\ \Delta_3 &=K\cdot(T_1+T_2- K\cdot T_1\cdot T_2)>0 \end{align} \right.» src=»https://habrastorage.org/getpro/habr/upload_files/62f/2fc/103/62f2fc1037bba1a6422e1a26ec53d114.svg»>

Очевидно из формулы для определиттеля $\Delta_3$ следует что для устойчивости САР необходимо чтобы 0″ alt=»K>0″ src=»https://habrastorage.org/getpro/habr/upload_files/e9c/f7d/201/e9cf7d201f6007a9eabd97e3e9e90553.svg»>

Рисунок 6.3.3. Условие устойчивости по

В случае когда постоянные времени положительны 0, T_2>0″ alt=»T_1>0, T_2>0″ src=»https://habrastorage.org/getpro/habr/upload_files/973/279/a39/973279a3978d5113ff5b274315cd5422.svg»> условие устойчивости можно вычислить получить из выражения для второго определителя:

0\Rightarrow k0\Rightarrow k

Рисунок 6.3.4 Полные условия устойчивости

Полученный результат свидетельствует, что если , то для того, чтобы САР была устойчивой, необходимо, чтобы выполнит следующие условия:

<img source="0<K<\frac{1}{T_2}+\frac{1}{T_1}" alt="0<K

Усложним задачу: предположим, что в системе САР изображенной на рис. 6.3.2 возможно варьировать (изменять) коэффициент усиления и постоянную времени, например, В этом случае область устойчивости может быть отображена в виде фигуры в координатах

Рисунок 6.3.5 Область устойчивости

Система неравенств такая же, что и выше, для определителей матрицы Гурвица:

0\\ \Delta_2&=T_1+T_2-K\cdot T_1\cdot T_2 >0\\ \Delta_3 &=K\cdot(T_1+T_2- K\cdot T_1\cdot T_2)>0 \end{align} \right. \Rightarrow» alt=»\left \{\begin{align} \Delta_1&=T_1+T_2 >0\\ \Delta_2&=T_1+T_2-K\cdot T_1\cdot T_2 >0\\ \Delta_3 &=K\cdot(T_1+T_2- K\cdot T_1\cdot T_2)>0 \end{align} \right. \Rightarrow» src=»https://habrastorage.org/getpro/habr/upload_files/68d/365/299/68d365299f4d0127f888cbb63154c6ad.svg»>
0\\ & T_1+T_2-K\cdot T_1\cdot T_2 >0\\& K\cdot(T_1+T_2- K\cdot T_1\cdot T_2)>0 \end{align} \right. \Rightarrow KK-\frac{1}{T_1} \Rightarrow» alt=»\left \{\begin{align} & T_1+T_2 >0\\ & T_1+T_2-K\cdot T_1\cdot T_2 >0\\& K\cdot(T_1+T_2- K\cdot T_1\cdot T_2)>0 \end{align} \right. \Rightarrow KK-\frac{1}{T_1} \Rightarrow» src=»https://habrastorage.org/getpro/habr/upload_files/ee7/0fe/007/ee70fe007aa95b27a5491a8324a2e845.svg»>
<img source="\Rightarrow \left \{ \begin{align} T_2\frac{1}{T_1}\\ T_2>\frac{1}{\frac{1}{T_1}-K} \ \ если \ \ K<\frac{1}{T_1} \end{align} \right." alt="\Rightarrow \left \{ \begin{align} T_2\frac{1}{T_1}\\ T_2>\frac{1}{\frac{1}{T_1}-K} \ \ если \ \ K

Рисунок 6.3.6. Область устойчивости для САР с переменными T2 и К

Примеры из видео можно взять здесь..

Продолжение темы устойчивости:

6.4 Частотный критерий устойчивости Михайлова.

6.5. Частотный критерий Найквиста

6.6. Понятие об областях устойчивости

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН

Некоммерческое акционерное общество

Алматинский университет энергетики и связи

НЕЛИНЕЙНЫЕ И ЦИФРОВЫЕ СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО
УПРАВЛЕНИЯ

УДК 62-83: 681.3